By Wolfgang Keller
Originally written 2020-06-09
Based on a text originally written 2020-05-30
Last modified 2020-06-09
Eine sehr interessante Kryptowährung ist Primecoin:
Bei dieser wird die für Proof-of-Work-Schema benötigte Rechenleistung dazu genutzt, neue
zu finden, was aus mathematischer Sicht ein interessantes Problem ist. Siehe hierzu auch die Links auf der Primecoin-Seite selbst: Primecoin [visited 2020-06-09T20:54:20Z].
Für alle, die sich jetzt fragen: „Was sind Cunningham-Ketten und Bi-Zwillings-Ketten?“, hier eine Erklärung auf Basis der Wikipedia-Artikel zu diesen Themen:
Definition : Eine Cunningham-Kette erster Art der Länge \(n\) ist eine (endliche) Folge \((p_1, \ldots, p_n)\) von Primzahlen, sodass für alle \(i \in \{1, \ldots, n-1\}\) gilt: \[p_{i+1} = 2 p_i + 1.\]
Mittels vollständiger Induktion zeigt man leicht, dass für alle \(i \in \{1, \ldots, n\}\) gilt: \[p_i = 2^{i-1} p_1 + \left(2^{i-1}-1\right).\]
Warum interessiert man sich dafür?
Dazu definieren wir:
Definition : Eine Primzahl p heißt Sophie-Germain-Primzahl (Sophie-Germain-Primzahl – Wikipedia [visited 2020-06-09T21:38:58Z]; Sophie Germain prime - Wikipedia [visited 2020-06-09T21:41:21Z]), wenn \(2p+1\) ebenfalls eine Primzahl ist. In diesem Fall bezeichnen wir \(2p+1\) als sichere Primzahl (Sichere Primzahl – Wikipedia [visited 2020-06-09T21:43:16Z]; Safe prime - Wikipedia [visited 2020-06-09T21:43:55Z]).
Somit bilden in einer Cunningham-Kette erster Art \((p_1, \ldots, p_n)\):
Definition : Eine Cunningham-Kette zweiter Art der Länge \(n\) ist eine (endliche) Folge \((p_1, \ldots, p_n)\) von Primzahlen, sodass für alle \(i \in \{1, \ldots, n-1\}\) gilt: \[p_{i+1} = 2 p_i - 1.\]
Mittels vollständiger Induktion zeigt man leicht, dass für alle \(i \in \{1, \ldots, n\}\) gilt: \[p_i = 2^{i-1} p_1 - \left(2^{i-1}-1\right).\]
Definition : Eine Bi-Zwillings-Kette der Länge \(n+1\) ist eine (endliche) Folge natürlicher Zahlen \[(m-1, m+1, 2m-1, 2m+1, \ldots, 2^n m-1, 2^n m +1) =: (p_1, \ldots, p_{2 (n+1)}),\] sodass jede Zahl dieser Folge eine Primzahl ist.
Es gelten folgende Eigenschaften, die man leicht nachprüft:
Wie man auf den weiter oben verlinkten Wikipedia-Artikeln zu Cunningham-Ketten und den Bi-Zwillings-Ketten lesen kann, wurden durch Primecoin einige neue Rekorde für die von den Zahlen her größten bekannten Cunningham-Ketten und Bi-Zwillings-Ketten aufgestellt.